Dibawah Puncak Gunung Es : Menggunakan Representasi untuk Mendukung Pemahaman Siswa

"Iceberg Model" diperkenalkan dan dikembangkan oleh Freudenthal Institute.  Model ini telah digunakan di Belanda untuk mendukung guru dalam mengidentifikasi representasi secara informal dan preformal yang membangun pemahaman siswa terhadap matematika secara formal.  Istilah puncak gunung es merupakan suatu prosedur formal yang ditargetkan atau direpresentasikan secara simbolis.  Sebagian besar gunung es yang ada di bawah air diwakili oleh kombinasi dari representasi informal.  Hal tersbeut termasuk saran tentang bagaimana model tersebut dapat digunakan untuk mendukung pengembangan profesional, perencanaan pembelajaran kolaboratif, dan identifikasi intervensi yang tepat.

Dalam mata pelajaran matematika perkembangan postsecondary, guru percaya bahwa siswa perlu diberitahu cara untuk memecahkan masalah dan bukan memotivasi siswa untuk berpikir sendiri. Jarang rasanya siswa memiliki kesempatan untuk mengeksplorasi konteks masalah yang ada. Melalui pendekatan instruksional membuat siswa sering fokus pada cara belajar siswa dalam matematika formal tanpa melakukan representasi pra-formal yang bisa kontraproduktif bagi banyak siswa. Untuk siswa, kurangnya relevansi sering menyebabkan frustrasi.

Prinsip PMRI adalah keterlibatan matematika untuk siswa yang harus dimulai dalam konteks masalah yang bermakna.  Perkembangan pemahaman dan kemampuan setiap siswa untuk memahami representasi matematika dimulai dengan adanya penalaran secara formal dari siswa tersebut.  Untuk menggambar perspektif kognitif pembelajaran, siswa akan menghubungkan pengetahuan melalui representasi matematika.  Akibatnya, cara untuk mengetahui dan melakukan pembelajaran matematika dibangun dari perspektif siswa.   Konteks dunia nyata dapat digunakan tetapi hal tersebut tidak selalu diperlukan.  Biasanya konteks yang ideal yang bisa digunakan untuk memotivasi strategi matematika yang kuat. 

Guru akan memperkenalkan siswa dengan strategi dan model pra-formal. Strategi pra-formal biasanya lebih singkat dan efisien.  Manfaat tambahan yang ditawarkan lebih erat kaitannya dengan bagaimana siswa memandang suatu masalah.  Konteks tidak ditambahkan pada akhir pembelajaran. Konteks lebih berfungsi sebagai titik awal yang realistis agar siswa terlibat dan bisa berpikir sendiri. Konteks ini kemudian ditambah dengan masalah berturut-turut sehingga strategi untuk mengembangkan pembelajaran yang koheren akan terus terbangun dan memperkuat hubungan antara konteks, konsep, pengetahuan prosedural, dan pemahaman siswa matematika secara formal.

Gunung es terdiri dari puncak gunung es dan area yang jauh lebih besar pada bagian bawahnya.  Puncak gunung es merupakan suatu prosedur formal.  Namun sebelum tingkat formal ini tercapai, keterampilan dan wawasan harus dikembangkan.  Nantinya pengetahuan siswa terdorong menggunakan istilah atau bahasa matematika.  Kemudian siswa menggunakan model terstruktur yang mengarah pada pemahaman yang lebih dalam secara simbolis.  Model seperti ini telah menjadi cara yang efektif untuk melakukan prosedur formal.  Selain itu mengabaikan representasi yang di bawah permukaan bukanlah cara yang paling efektif untuk memfasilitasi pemahaman siswa tentang matematika.